Calcula el límite de (sen 4x + cos 2x)/(4x − π) cuando x tiende a π/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprobar la forma. En $x=\frac{\pi}{4}$ arriba queda $\sin\pi+\cos\frac{\pi}{2}=0+0=0$ y abajo $\pi-\pi=0$, así que la forma es $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Trasladar la variable al origen. Se toma $x=\frac{\pi}{4}+t$ con $t\to 0$. El denominador pasa a ser $4t$, la expresión más sencilla posible entre la que dividir.

3. 3

   Reescribir el numerador. $\sin 4x=\sin(\pi+4t)=-\sin 4t$ y $\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2t$, de modo que el numerador es $-\sin 4t-\sin 2t$.

4. 4

   Dividir entre $t$. El cociente es igual a $\frac{-\frac{\sin 4t}{t}-\frac{\sin 2t}{t}}{4}$ y, por el límite fundamental $\frac{\sin kt}{t}\to k$, el numerador tiende a $-4-2=-6$.

5. 5

   Terminar. El límite es $\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$. Derivando una vez arriba y abajo (regla de L'Hôpital) se obtiene $\frac{4\cos 4x-2\sin 2x}{4}\to\frac{-4-2}{4}$, el mismo valor.

6. 6

   Comprobación numérica. En $x=\frac{\pi}{4}+10^{-7}$ la expresión original vale $-1.5000000$, lo que confirma $-\frac{3}{2}$.