Calcula la integral doble de x² + y² sobre la región 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la integral iterada sobre un rectángulo. Como los límites son constantes, el orden no importa, así que escribe $\int_0^1\int_0^1\left(x^2+y^2\right)dy\,dx$.

2. 2

   Separa el integrando en dos piezas de una sola variable. $\iint(x^2+y^2)\,dA=\iint x^2\,dA+\iint y^2\,dA$. Cada pieza se separa porque la región es un producto de intervalos.

3. 3

   Calcula la primera pieza. $\int_0^1 x^2\,dx\cdot\int_0^1 dy=\frac13\cdot 1=\frac13$.

4. 4

   Aprovecha la simetría para la segunda pieza. Intercambiar los papeles de $x$ y $y$ transforma el cuadrado en sí mismo y convierte el segundo integrando en el primero, así que $\iint y^2\,dA=\frac13$ también. Reconocer la simetría ahorra repetir el cálculo.

5. 5

   Suma los dos aportes. El valor es $\frac13+\frac13=\frac23\approx 0.6667$.

6. 6

   Comprobación numérica. La cuadratura adaptativa sobre el cuadrado unidad devuelve $0.66666667$, que coincide con $\frac23$.