Halla el valor de cada límite: el límite de 25 cuando x tiende a 1, de 3x² cuando x tiende a 10, de 2x⁴ − x² cuando x tiende a 3, de (x³ + 2)⁶ cuando x tiende a 1, y de |−15x + 4| cuando x tiende a 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba la continuidad antes de hacer cualquier otra cosa. La sustitución directa es válida exactamente cuando la función es continua en el punto objetivo. Los polinomios son continuos en todos los puntos, los valores absolutos de polinomios también lo son, y las constantes lo son trivialmente, así que los cinco límites de aquí son simplemente valores de la función. No hay ningún $0/0$ que resolver.

2. 2

   Límite 1: una función constante. $f(x) = 25$ no cambia nunca, así que acercarse a $x = 1$ no cambia nada:

   $\lim_{x\to 1} 25 = 25$

   Que aparezca $x$ en la notación del límite no significa que $x$ aparezca en la función.

3. 3

   Límites 2 y 3: polinomios. Sustituye y evalúa con cuidado, respetando los exponentes:

   $\lim_{x\to 10} 3x^2 = 3(10)^2 = 3(100) = 300$

   $\lim_{x\to 3} (2x^4 - x^2) = 2(81) - 9 = 162 - 9 = 153$

   Fíjate en que $3(10)^2 = 300$, no $(3\cdot 10)^2 = 900$: el coeficiente no se eleva al cuadrado.

4. 4

   Límite 4: una potencia de un polinomio. Evalúa primero el interior y después eleva:

   $\lim_{x\to 1} (x^3+2)^6 = (1+2)^6 = 3^6 = 729$

   Esto usa la ley de composición para límites, válida porque la función exterior $u^6$ es continua.

5. 5

   Límite 5: un valor absoluto. Evalúa el interior y después toma el valor absoluto:

   $\lim_{x\to 3} |-15x+4| = |-45+4| = |-41| = 41$

   El resultado es $+41$: un valor absoluto nunca es negativo. Las funciones con valor absoluto tienen picos, pero un pico no rompe la continuidad, así que la sustitución sigue siendo legítima; y en todo caso el pico está en $x = \tfrac{4}{15}$, lejísimos de $x = 3$.

6. 6

   Reúne los resultados y verifica. Los cinco valores son $25$, $300$, $153$, $729$ y $41$. Cada uno se reconfirmó con un motor simbólico de límites, y cada uno coincide con el valor simple de la función en el punto objetivo, como garantiza la continuidad.