Calcula el límite de (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Diagnostica la indeterminación. Cuando $x\to\infty$, el numerador y el denominador crecen ambos sin cota, lo que da $\tfrac{\infty}{\infty}$. Eso no es un valor: solo indica que hay que reescribir la expresión antes de poder leer el límite.

2. 2

   Divide numerador y denominador entre la mayor potencia presente. Los dos son cúbicos, así que divide cada término entre $x^3$ (legítimo para $x$ grande, donde $x\neq 0$):

   $\frac{5x^{3}-2x+1}{3x^{3}+7}=\frac{5-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{3+\dfrac{7}{x^{3}}}.$

3. 3

   Manda a cero cada potencia recíproca. Para cualquier $k>0$, $\dfrac{1}{x^{k}}\to 0$ cuando $x\to\infty$, así que los tres términos pequeños desaparecen:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{5-0+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$

4. 4

   Enuncia la regla general que ilustra este caso. En una función racional, compara los grados: grados iguales dan el cociente de los coeficientes principales (aquí $\tfrac53$), un grado menor en el numerador da $0$, y un grado mayor en el numerador da $\pm\infty$. Los términos de orden inferior $-2x$, $+1$ y $+7$ nunca afectan a la respuesta.

5. 5

   Comprueba numéricamente. En $x=10^{6}$ el cociente vale

   $\frac{5\cdot 10^{18}-2\cdot 10^{6}+1}{3\cdot 10^{18}+7}=1.6666666\ldots,$

   que coincide con $\tfrac53=1.6\overline{6}$ hasta muchos decimales.