Halla la integral indefinida de e^(−x) por x^3.102378 respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Mira por qué aquí falla la integración por partes. Para una potencia entera $x^n e^{-x}$, aplicar partes repetidamente baja el exponente de uno en uno hasta llegar a $x^0$ y la integral se cierra. Con $a = 3.102378$ los exponentes van $3.102378,\ 2.102378,\ 1.102378,\ 0.102378,\ -0.897622,\dots$ y nunca llegan a cero, así que el proceso no termina nunca. No existe primitiva elemental.

2. 2

   Nombra la función especial que sí la cierra. La función gamma incompleta inferior se define como

   $\gamma(s,x) = \int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt$

   Por el teorema fundamental del cálculo, $\dfrac{d}{dx}\gamma(s,x) = x^{s-1}e^{-x}$.

3. 3

   Ajusta el exponente. Hace falta $s - 1 = 3.102378$, de modo que

   $s = 4.102378$

   y por lo tanto

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \gamma(4.102378,\,x) + C$

4. 4

   Enuncia la forma equivalente con la gamma superior. Como $\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$ y $\Gamma(s)$ es constante en $x$, la misma primitiva se puede escribir

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = -\Gamma(4.102378,\,x) + C$

   Las dos formas solo se diferencian en la constante $\Gamma(4.102378)$, que se absorbe en $C$.

5. 5

   Lee la integral definida sobre toda la semirrecta. Hacer $x \to \infty$ colapsa la gamma incompleta en la completa:

   $\int_0^{\infty} e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \Gamma(4.102378) \approx 6.83346$

   Como comparación, el caso entero vecino es $\Gamma(4) = 3! = 6$, así que el exponente ligeramente mayor eleva el valor de forma modesta, como cabe esperar del crecimiento suave de $\Gamma$ más allá de $s = 4$.