Halla la serie de Taylor en x = 0 de la función a/(4b(x + b)) por exp(−4b/(x + 2b)), hasta el término en x⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca primero el parámetro por escala. Tomando $t=x/b$ resulta $x+b=b(1+t)$ y $x+2b=b(2+t)$, y la $b$ del interior de la exponencial se cancela por completo:

   $f=\frac{a}{4b^2}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+t}\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)}_{g(t)}$

   Ahora solo hay que desarrollar una serie sin parámetros, $g(t)$: eso es lo que mantiene el álgebra bajo control.

2. 2

   Desarrolla el exponente como serie geométrica. Escribiendo $-\frac{4}{2+t}=-\frac{2}{1+t/2}$ y usando $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$ con $u=t/2$:

   $-\frac{4}{2+t}=-2+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4}-\frac{t^4}{8}+\cdots$

   El $-2$ inicial sale fuera como la constante $e^{-2}$, y por eso $e^{-2}$ aparece en todos los coeficientes de la respuesta final.

3. 3

   Exponencia el resto. Con $h(t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\tfrac{t^3}{4}-\tfrac{t^4}{8}$, usa $e^{h}=1+h+\tfrac{h^2}{2}+\tfrac{h^3}{6}+\tfrac{h^4}{24}$ y agrupa por potencias:

   $\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)=e^{-2}\left(1+t+0\cdot t^2-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{24}+\cdots\right)$

   El coeficiente de $t^2$ se cancela exactamente: $-\tfrac12+\tfrac12=0$.

4. 4

   Multiplica por el factor geométrico $1/(1+t)$. Con $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^4-\cdots$, el producto de Cauchy da los coeficientes $1$, $1-1=0$, $1-1+0=0$, $-1+1+0-\tfrac1{12}=-\tfrac1{12}$ y $1-1+0+\tfrac1{12}+\tfrac1{24}=\tfrac18$:

   $g(t)=e^{-2}\left(1-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{8}+\cdots\right)$

   Se anulan tanto el término en $t$ como el de $t^2$: la función es inusualmente plana en el origen.

5. 5

   Deshaz el cambio $t=x/b$.

   $f(x)=\frac{a\,e^{-2}}{4b^2}\left[1-\frac{x^3}{12b^3}+\frac{x^4}{8b^4}+\cdots\right]=\frac{a e^{-2}}{4b^2}-\frac{a e^{-2}}{48b^5}x^3+\frac{a e^{-2}}{32b^6}x^4+O(x^5)$

6. 6

   Verifica los coeficientes numéricamente. Ajustar por mínimos cuadrados un polinomio de grado 8 a $g(t)$ en $t\in[-0.3,0.3]$ devuelve, tras dividir entre $e^{-2}$, los coeficientes $1.0000$, $3\times10^{-7}$, $-1\times10^{-6}$, $-0.08338$, $0.12509$, que concuerdan con $1,0,0,-\tfrac1{12}=-0.08333,\tfrac18=0.125$ ✓. Además $g(0)=e^{-2}=0.135335$ ✓.