Calcula la integral triple de sen de (x al cuadrado más y al cuadrado más z al cuadrado) elevado a 3/2, sobre la región comprendida entre el cono z = raíz de 3(x² + y²) y la esfera z = raíz de (1 − x² − y²).

Step-by-step solution

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   Identifica el sólido. La superficie inferior $z=\sqrt{3}\,r$ (con $r^2=x^2+y^2$) es un cono, y la superficie superior $z=\sqrt{1-r^2}$ es la semiesfera unitaria superior. Se cortan donde $\sqrt3\,r=\sqrt{1-r^2}$, es decir $3r^2=1-r^2$, de donde $r=\tfrac12$: la región es el clásico «cono de helado» entre el cono y la esfera unidad, que se proyecta sobre el disco $r\le\tfrac12$.

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   Elige coordenadas esféricas, no cilíndricas. El integrando depende únicamente de $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$, así que en coordenadas esféricas se convierte en $\sin(\rho^3)$, una función de una sola variable. Las coordenadas cilíndricas dejarían un inseparable $\sin\!\left((r^2+z^2)^{3/2}\right)$, y por eso la conversión tiene que llegar hasta las esféricas.

3. 3

   Convierte el cono en un ángulo polar constante. Sobre el cono, $\tan\varphi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{1}{\sqrt3}$, de donde $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$. El sólido es, por tanto, $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6},\qquad 0\le\theta\le2\pi,$ con elemento de volumen $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$.

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   Separa la integral triple en tres integrales simples. $I = \int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi/6}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1}\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho.$ Ahora cada factor involucra una sola variable.

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   Evalúa cada factor. $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$; $\int_0^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\tfrac{\pi}{6} = 1-\tfrac{\sqrt3}{2}$; y con $u=\rho^3$, $du=3\rho^2 d\rho$, $\int_0^1\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho = \frac13\int_0^1\sin u\,du = \frac{1-\cos 1}{3}.$ El $\rho^2$ del elemento de volumen es justamente lo que hace funcionar esta sustitución.

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   Multiplica y comprueba. $I = 2\pi\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\frac{1-\cos 1}{3} \approx 2\pi(0.133975)(0.153233) \approx 0.128989.$ La cuadratura numérica anidada de la forma cilíndrica original da $0.1289892138$, que coincide hasta la novena cifra decimal.