Evalúa la integral de e^(i·omega·x) respecto de omega desde menos infinito hasta infinito, donde x es un parámetro.

Step-by-step solution

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   Integrar primero sobre una ventana finita simétrica. Una integral impropia sobre $(-\infty,\infty)$ se define mediante límites de trozos finitos, así que empezamos con $\int_{-A}^{A}$. Para $x\ne 0$ la primitiva en $\omega$ es $\dfrac{1}{ix}e^{i\omega x}$, de donde

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{1}{ix}\left(e^{iAx}-e^{-iAx}\right)$

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   Convertir las exponenciales en un seno. Usando $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ con $\theta=Ax$:

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{2i\sin(Ax)}{ix}=\frac{2\sin(Ax)}{x}$

   Esto es $2A\,\operatorname{sinc}(Ax)$ — un pico de altura $2A$ en $x=0$ cuya área total permanece fija.

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   Hacer $A\to\infty$ punto a punto y observar el fracaso. Para $x\ne 0$ fijo, el factor $\sin(Ax)$ sigue oscilando entre $-1$ y $1$ y nunca se estabiliza, así que $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ no tiene límite. Para $x=0$ el integrando es la constante $1$ y $\int_{-A}^{A}1\,d\omega=2A\to\infty$. En cualquiera de los dos casos la integral diverge en el sentido ordinario (de Riemann o de Lebesgue).

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   Probar la familia contra una función suave en lugar de eso. Aunque $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ no tiene límite puntual, su área es constante:

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\,dx=2\pi\qquad\text{para todo }A>0$

   y, a medida que crece $A$, la masa se concentra cada vez más estrechamente en $x=0$ (las oscilaciones lejos del origen se cancelan al ponderarlas contra cualquier función de prueba suave $\varphi$). Ese es justamente el comportamiento que define una sucesión delta:

   $\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\varphi(x)\,dx=2\pi\varphi(0)$

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   Enunciar ambas respuestas y decir cuál se usa en cada contexto. Como integral impropia ordinaria, la expresión no converge. Como distribución — el sentido que se usa en análisis de Fourier, donde es la transformada inversa de la función constante $1$ — vale

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\,\delta(x)$

   El $2\pi$ depende del convenio: con el convenio simétrico $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ para la transformada, la misma identidad sigue leyéndose $\int e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\delta(x)$, pero el par de transformadas lleva $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ en cada lado.