Calcula el límite de x³ · e^(−2x) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Convierte $\infty\cdot 0$ en $\infty/\infty$. Tal como está escrito, el límite es un producto de $x^3\to\infty$ y $e^{-2x}\to 0$, una forma a la que no se le aplica ninguna regla directamente. Pasar la exponencial al denominador lo arregla:

   $x^{3}e^{-2x}=\frac{x^{3}}{e^{2x}}$

   Ahora ambas partes tienden a $\infty$, que es una forma que la regla de L'Hôpital sí sabe tratar.

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   Deriva numerador y denominador una vez.

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}$

   Cada pasada baja en uno el grado del numerador, pero solo multiplica el denominador por la constante $2$: la exponencial nunca se hace más pequeña.

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   Deriva dos veces más.

   $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{8e^{2x}}$

   Cada paso sigue siendo $\infty/\infty$ hasta que el numerador se vuelve una constante, que es cuándo hay que parar.

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   Evalúa la expresión final. El numerador ya está fijo en $6$ mientras $e^{2x}\to\infty$, de modo que

   $\frac{6}{8e^{2x}}\to 0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to\infty}x^{3}e^{-2x}=0$

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   Reconoce el principio general. Para cualquier $n>0$ y $a>0$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-ax}=0$: las exponenciales le ganan a todo polinomio. Saber esto ahorra de entrada las tres pasadas de L'Hôpital. Numéricamente, $x^3e^{-2x}$ vale $3.4\times 10^{-14}$ en $x=20$ y $4.7\times 10^{-39}$ en $x=50$ ✓.