Usando una integral doble, halla el área de la región comprendida entre y = 4x − x² y la recta y = x.

Step-by-step solution

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   Halla dónde se cortan las dos curvas. Igualando $4x-x^{2}=x$ queda $3x-x^{2}=0$, es decir $x(3-x)=0$, así que las curvas se cortan en $x=0$ y $x=3$. Como allí $y=x$, los puntos de intersección son $(0,0)$ y $(3,3)$. Esos dos valores serán los límites exteriores de la integral.

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   Decide qué curva va arriba. Prueba un punto interior: en $x=1$ la parábola da $4(1)-1^{2}=3$ mientras la recta da $1$. Así que la parábola está por encima de la recta en todo $0<x<3$, y la región es $R=\left\{(x,y):0\le x\le 3,\ x\le y\le 4x-x^{2}\right\}.$

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   Plantea el área como integral doble. El área es la integral doble de la constante $1$ sobre la región, así que con la descripción por franjas verticales de arriba, $A=\iint_R 1\,dA=\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy\,dx .$

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   Resuelve la integración interior. Integrar $1$ respecto de $y$ mide simplemente la altura de la franja, $\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy=(4x-x^{2})-x=3x-x^{2},$ que es el conocido integrando «la de arriba menos la de abajo» de un problema de área en una variable.

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   Resuelve la integración exterior. $A=\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$ El integrando $3x-x^{2}$ es no negativo en $[0,3]$, así que el resultado es positivo, como debe ser un área.