Demostrar que la gráfica de f(x) = √(9x² - 6x + 3) tiene una asíntota oblicua cuando x tiende a más infinito, hallar su ecuación y decidir si la curva queda por encima o por debajo de ella.

Step-by-step solution

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   Primero se estudia el comportamiento en el infinito. El radicando $9x^2-6x+3$ tiene coeficiente principal positivo y discriminante $36-108=-72<0$, así que es positivo para todo $x$ real y $f$ está definida en todo $\mathbb{R}$. Cuando $x\to+\infty$ el radicando $\to+\infty$, luego $f(x)\to+\infty$: la gráfica se escapa hacia arriba y la única asíntota posible es una recta oblicua.

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   Se completa el cuadrado bajo el radical. Se saca factor común $9$ en los términos con $x$:

   $9x^2-6x+3=9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-1+3$

   y como $9\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2$,

   $9x^2-6x+3=(3x-1)^2+2$

   Esta forma canónica es el movimiento clave: deja a la vista la función lineal escondida dentro de la raíz cuadrada.

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   Se intuye la asíntota a partir de la forma canónica. Escribiendo

   $f(x)=\sqrt{(3x-1)^2+2}$

   el $+2$ es despreciable frente a $(3x-1)^2$ cuando $x$ es grande, así que $f(x)\approx|3x-1|=3x-1$ para $x>\tfrac13$. La candidata a asíntota es por tanto

   $\Delta:\ y=3x-1$

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   Se demuestra con el truco del conjugado. Se define $h(x)=f(x)-(3x-1)$. Es una indeterminación $\infty-\infty$, así que se multiplica y se divide por el conjugado:

   $h(x)=\frac{\left[(3x-1)^2+2\right]-(3x-1)^2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}$

   El numerador es la constante $2$ mientras que el denominador $\to+\infty$, luego

   $\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(3x-1)\bigr]=0$

   que es exactamente la definición de que $y=3x-1$ sea asíntota de $C$ en $+\infty$.

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   Se lee la posición de la curva a partir del signo de $h$. Para $x>\tfrac13$ los dos sumandos del denominador son positivos, así que

   $h(x)=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}>0$

   Por tanto $f(x)>3x-1$: la curva queda por encima de su asíntota y se acerca a ella desde arriba, sin llegar a tocarla nunca.

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   Resumen, con una nota sobre el otro extremo.

   $\boxed{y=3x-1\ \text{ es la asíntota en }+\infty,\ \text{ con } C \text{ por encima de } \Delta}$

   Numéricamente, $f(10)-29=0.0345$ y $f(10^4)-29999=3.33\times 10^{-5}$, decreciendo como $\tfrac{1}{3x}$. Con el mismo cálculo, usando $|3x-1|=1-3x$, la asíntota en $-\infty$ es $y=-3x+1$, de nuevo con la curva por encima.