Evalúa el límite, cuando x tiende a infinito, de ((x + 3)/(x − 1)) elevado a la potencia (x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la forma. La base tiende a $1$ (numerador y denominador crecen ambos como $x$) mientras que el exponente tiende a $\infty$. Esa es la forma indeterminada $1^{\infty}$ — no se puede evaluar sustituyendo los dos límites por separado.

2. 2

   Reescribe la base como 1 más una pieza pequeña. Separa el denominador:

   $\frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}.$

   Esta forma es la que permite reconocer el límite estándar $\left(1+\tfrac1u\right)^{u}\to e$.

3. 3

   Sustituye u = x - 1 para que el patrón sea exacto. Cuando $x\to\infty$, $u\to\infty$ y el exponente $x+3=u+4$:

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+4}=\left[\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\right]\cdot\left(1+\frac{4}{u}\right)^{4}.$

4. 4

   Toma los dos límites por separado. El corchete es el límite estándar con $a=4$:

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\longrightarrow e^{4},$

   mientras que el factor final $\left(1+\tfrac4u\right)^{4}\to 1^{4}=1$. Por lo tanto el $+3$ extra del exponente original no influye en la respuesta — solo cuenta la $x$ dominante.

5. 5

   Combina.

   $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{x+3}=e^{4}\cdot 1=e^{4}\approx 54.598.$

6. 6

   Confirma numéricamente. En $x=10^{6}$ la expresión vale $54.59859$, frente a $e^{4}=54.59815$ — coinciden en cuatro cifras significativas, y la pequeña diferencia se reduce como $1/x$, tal como se espera.