Deriva h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ y factoriza el resultado.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la regla del producto. La función es un producto de dos potencias compuestas, así que escribe

   $u = (2x+1)^5, \qquad v = \left(x^2-1\right)^3, \qquad h' = u'v + uv'$

   Desarrollar $h$ primero daría un polinomio de grado 11; la regla del producto lo mantiene todo factorizado, y eso es lo que hace posible la simplificación final.

2. 2

   Deriva cada factor con la regla de la cadena. Derivada exterior por derivada interior:

   $u' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

   $v' = 3\left(x^2-1\right)^2 \cdot 2x = 6x\left(x^2-1\right)^2$

   Las derivadas interiores $2$ y $2x$ son exactamente donde suele colarse el desliz con la regla de la cadena.

3. 3

   Arma los dos términos.

   $h'(x) = 10(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^3 + 6x(2x+1)^5\left(x^2-1\right)^2$

   Cada término se diferencia de $h$ en que baja una potencia en uno de los factores, y por eso está garantizado que existe un factor común.

4. 4

   Saca la menor potencia de cada paréntesis. Los dos términos contienen $(2x+1)^4$ y $\left(x^2-1\right)^2$:

   $h'(x) = (2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\Big[10\left(x^2-1\right) + 6x(2x+1)\Big]$

5. 5

   Simplifica el corchete y extrae el factor numérico.

   $10x^2 - 10 + 12x^2 + 6x = 22x^2 + 6x - 10 = 2\left(11x^2 + 3x - 5\right)$

   $h'(x) = 2(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\left(11x^2+3x-5\right)$

   La última cuadrática tiene discriminante $9 + 220 = 229$, que no es cuadrado perfecto, así que no se factoriza más sobre los racionales.

6. 6

   Comprueba el resultado numéricamente y lee los puntos críticos. Una diferencia central en $x = 0$ da $h'(0) \approx -10.000$, que coincide con $2(1)(1)(-5) = -10$; la misma comprobación en $x = 0.3,\ 1.7,\ -2.1$ concuerda con seis cifras significativas. Los ceros de $h'$ son $x = -\tfrac12$, $x = \pm 1$ (procedentes de los factores repetidos, que también son ceros de $h$) y $x = \frac{-3 \pm \sqrt{229}}{22}$.