Integra f(x) = x de 0 a 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce qué regla se aplica. El integrando $x$ es la potencia $x^{1}$, así que basta la regla de la potencia $\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ con $n=1$: no hace falta ningún cambio de variable ni integración por partes.

2. 2

   Escribe la primitiva.

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C$

   En una integral definida se puede prescindir de la constante $C$: aparece en los dos límites y se cancela al restar.

3. 3

   Aplica el teorema fundamental del cálculo. Evalúa la primitiva en el límite superior y resta su valor en el límite inferior:

   $\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{16}{2}-0=8$

4. 4

   Comprueba el resultado geométricamente. En $[0,4]$ la gráfica de $y=x$ es una recta, así que la región que queda debajo es un triángulo rectángulo de base $4$ y altura $4$:

   $\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$

   El área geométrica coincide exactamente con el cálculo mediante la primitiva, que es la confirmación más contundente disponible para un integrando lineal.

5. 5

   Escribe la respuesta.

   $\int_{0}^{4}x\,dx=8$