Halla el límite cuando n tiende a infinito de (2n − n³)/(12 + n³). Las opciones ofrecidas son: ninguna respuesta correcta, 0, 5 y 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar la potencia dominante en cada parte. Tanto el numerador como el denominador son de grado tres en $n$: el término principal del numerador es $-n^{3}$ y el del denominador es $+n^{3}$. Grados iguales significan que el límite será el cociente de esos coeficientes principales.

2. 2

   Dividir cada término entre n^3. Con esto la afirmación queda demostrada en lugar de solo enunciada:

   $\frac{2n-n^{3}}{12+n^{3}}=\frac{\dfrac{2}{n^{2}}-1}{\dfrac{12}{n^{3}}+1}.$

3. 3

   Hacer que las potencias recíprocas tiendan a cero. Tanto $\dfrac{2}{n^{2}}\to 0$ como $\dfrac{12}{n^{3}}\to 0$, con lo que queda

   $\lim_{n\to\infty}\frac{0-1}{0+1}=-1.$

4. 4

   Vigilar el signo: en él está todo el asunto. El término cúbico del numerador es negativo, así que la sucesión se acerca a $-1$ por debajo y la respuesta es negativa. Leer $2n-n^{3}$ como si el $n^3$ fuera positivo es lo que produce la tentadora respuesta $1$.

5. 5

   Contrastar con las opciones ofrecidas. El valor calculado $-1$ no es $0$, ni $5$, ni $1$. Por lo tanto la elección correcta es A: ninguna respuesta correcta.

6. 6

   Comprobar numéricamente. En $n=100$ el cociente es $\dfrac{200-1000000}{12+1000000}=-0.9998$, y en $n=1000$ vale $-0.999998$ — claramente converge a $-1$.