Resuelve el sistema x″ + y″ = t², x″ − y″ = 4t con x(0) = 8, x′(0) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Desacoplar el sistema sumando y restando. Las dos ecuaciones involucran solo la suma y la diferencia de $x''$ y $y''$, así que unas combinaciones lineales las separan de inmediato: no hace falta transformada de Laplace ni método matricial:

   $\text{sumar: } 2x'' = t^2 + 4t, \qquad \text{restar: } 2y'' = t^2 - 4t$

   De aquí

   $x'' = \tfrac{1}{2}t^2 + 2t, \qquad y'' = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$

2. 2

   Integrar x″ una vez y aplicar x′(0) = 0.

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2 + C_1$

   Haciendo $t = 0$ resulta $0 = C_1$, así que

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2$

   Aplicar cada condición en cuanto aparece su constante evita que las dos constantes se confundan entre sí.

3. 3

   Integrar otra vez y aplicar x(0) = 8.

   $x = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + C_2, \qquad C_2 = 8$

   $x(t) = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + 8$

4. 4

   Repetir para y con los dos valores iniciales nulos.

   $y' = \frac{t^3}{6} - t^2 + C_3, \qquad y'(0) = 0 \Rightarrow C_3 = 0$

   $y = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3} + C_4, \qquad y(0) = 0 \Rightarrow C_4 = 0$

   $y(t) = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3}$

   Solo el signo del término cúbico y la constante $8$ distinguen a $y$ de $x$: exactamente la asimetría que introduce el $\pm 4t$.

5. 5

   Verificar las dos ecuaciones diferenciales y las cuatro condiciones iniciales. Derivando dos veces:

   $x'' = \frac{t^2}{2} + 2t, \qquad y'' = \frac{t^2}{2} - 2t$

   $x'' + y'' = t^2 \ \checkmark, \qquad x'' - y'' = 4t \ \checkmark$

   En $t = 0$: $x = 8$, $x' = 0$, $y = 0$, $y' = 0$; las cuatro coinciden. Nótese que $x - y = \frac{2t^3}{3} + 8$ y $x + y = \frac{t^4}{12} + 8$, las dos combinaciones desacopladas.