Halla la suma de la serie infinita cuyo término n-ésimo es 1/(4n² − 1), sumada desde n = 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el denominador. $4n^2-1$ es una diferencia de cuadrados: $(2n-1)(2n+1)$. Reconocer un producto de dos factores lineales es la señal de que las fracciones parciales van a telescopar.

2. 2

   Descompón en fracciones parciales. Escribe $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}$. Al quitar denominadores queda $1=A(2n+1)+B(2n-1)$; tomar $n=\frac12$ da $A=\frac12$ y tomar $n=-\frac12$ da $B=-\frac12$.

3. 3

   Escribe el término general. $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$.

4. 4

   Forma la suma parcial. $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\right]$. Cada fracción interior aparece una vez con signo más y otra con signo menos, así que solo sobreviven la primera y la última: $S_N=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)$.

5. 5

   Toma el límite. Cuando $N\to\infty$, $\frac{1}{2N+1}\to 0$, de modo que $S_N\to\frac12$.

6. 6

   Comprobación numérica. Sumar los primeros $2\times10^{6}$ términos da $0.49999988$, coherente con la forma cerrada $S_N=\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}$.