Halla la derivada de y = 3 sen(4x³ + 5) · √(5(4x + 5/x)).

Step-by-step solution

1. 1

   Nombra los dos factores para que la regla del producto quede a la vista. La función es un producto, no una única composición, así que parte de $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ con $u=3\sin(4x^3+5),\qquad v=\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}.$ Cada factor es en sí mismo una composición, así que cada una de las dos derivadas necesitará la regla de la cadena.

2. 2

   Deriva el factor del seno con la regla de la cadena. Con función interior $f(x)=4x^3+5$ tenemos $f^{\prime}(x)=12x^2$, así que $u^{\prime}=3\cos(4x^3+5)\cdot 12x^2=36x^2\cos(4x^3+5).$

3. 3

   Deriva el factor del radical. Escribe $v=g(x)^{1/2}$ con $g(x)=5\left(4x+\frac5x\right)=20x+\frac{25}{x}$. Entonces $g^{\prime}(x)=20-\frac{25}{x^2}$ y, como $\left(g^{1/2}\right)^{\prime}=\frac{g^{\prime}}{2\sqrt{g}}$, $v^{\prime}=\frac{20-\frac{25}{x^2}}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

4. 4

   Monta el resultado con la regla del producto. Sustituir las cuatro piezas en $y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ da $y^{\prime}=36x^2\cos(4x^3+5)\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}+\frac{3\sin(4x^3+5)\left(20-\frac{25}{x^2}\right)}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

5. 5

   Fíjate en dónde es válida la respuesta. El término $5/x$ exige $x\ne 0$ y la raíz cuadrada exige $5\left(4x+\frac5x\right)\ge 0$, lo cual se cumple para todo $x>0$ pero falla en parte del semieje negativo. Donde el radicando es cero, el radical queda en un denominador, así que allí la derivada tampoco existe.