Calcula la integral definida de sen²(x) cos⁴(x) dx desde x = π/8 hasta x = π/12.

Step-by-step solution

1. 1

   Observa que los límites van al revés. El límite inferior $\tfrac{\pi}{8}=0.3927$ es mayor que el superior $\tfrac{\pi}{12}=0.2618$. Como $\sin^2x\cos^4x\ge 0$ en todas partes, la respuesta está obligada a ser negativa:

   $\int_{\pi/8}^{\pi/12}=-\int_{\pi/12}^{\pi/8}$

   Decidir el signo por adelantado es la comprobación más barata que hay sobre el número final.

2. 2

   Reduce las potencias con las identidades del ángulo doble. Los dos exponentes son pares, así que la reducción de potencias (y no una sustitución $u$) es la herramienta adecuada:

   $\sin^2x\cos^4x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{(1+\cos 2x)\left(1-\cos^2 2x\right)}{8}=\frac{\sin^2 2x+\sin^2 2x\cos 2x}{8}$

   La separación es deliberada: la primera pieza necesita otra reducción de potencias y la segunda es una sustitución $u$ perfecta.

3. 3

   Halla una primitiva término a término. Usando $\sin^2 2x=\tfrac{1-\cos 4x}{2}$ para la primera pieza y $u=\sin 2x$ para la segunda,

   $\int\sin^2 2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 4x}{8},\qquad \int \sin^2 2x\cos 2x\,dx=\frac{\sin^3 2x}{6}$

   de modo que

   $F(x)=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+\frac{\sin^3 2x}{48}$

4. 4

   Evalúa en los dos límites. En $x=\tfrac{\pi}{12}$: $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ y $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$, así que

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{192}-\frac{\sqrt3}{128}+\frac{1}{384}$

   En $x=\tfrac{\pi}{8}$: $\sin\tfrac{\pi}{2}=1$ y $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$, de donde $\sin^3\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{4}$ y

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{128}-\frac{1}{64}+\frac{\sqrt2}{192}$

5. 5

   Resta y pon todo sobre 384.

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=-\frac{\pi}{384}+\frac{7}{384}-\frac{3\sqrt3}{384}-\frac{2\sqrt2}{384}=\frac{7-\pi-3\sqrt3-2\sqrt2}{384}$

   Numéricamente, $7-3.14159-5.19615-2.82843=-4.16617$ y, al dividir entre $384$, queda $\approx -0.010849$: negativo, como exigían los límites invertidos. La cuadratura numérica directa del integrando original sobre ese mismo intervalo invertido devuelve $-0.0108494$ $\checkmark$.