Calcula la integral doble del valor absoluto de (xy − 1/4) sobre el cuadrado unidad 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Localiza la curva donde el valor absoluto cambia de signo. El integrando cambia de signo exactamente en $xy=\tfrac14$, es decir $y=\dfrac{1}{4x}$. Dentro del cuadrado unidad esa rama solo es visible cuando $\dfrac{1}{4x}\le1$, o sea cuando $x\ge\tfrac14$. Para $x<\tfrac14$ toda la franja vertical cumple $xy\le x<\tfrac14$, así que ahí no hace falta partir nada.

2. 2

   Trata la franja fácil $0\le x\le\tfrac14$. Aquí $\left|xy-\tfrac14\right|=\tfrac14-xy$, así que

   $\int_0^1\left(\frac14-xy\right)dy=\frac14-\frac{x}{2}$

   $I_1=\int_0^{1/4}\left(\frac14-\frac{x}{2}\right)dx=\frac{1}{16}-\frac{1}{64}=\frac{3}{64}$

3. 3

   Parte cada franja de $\tfrac14\le x\le1$ en $a=\dfrac{1}{4x}$. Por debajo de $a$ el integrando es $\tfrac14-xy$; por encima es $xy-\tfrac14$. Usando $\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{16x}$ y $\dfrac{xa^2}{2}=\dfrac{1}{32x}$, los dos trozos valen $\dfrac{1}{32x}$ y $\dfrac{x}{2}-\dfrac14+\dfrac{1}{32x}$, de modo que cada franja aporta

   $\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}$

4. 4

   Integra el aporte de la franja respecto de $x$.

   $I_2=\int_{1/4}^{1}\left(\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}\right)dx=\frac{15}{64}-\frac{3}{16}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}$

   El término $\dfrac{1}{16x}$ es la única fuente del logaritmo: es la huella de integrar cruzando una frontera hiperbólica.

5. 5

   Suma los trozos y verifica numéricamente.

   $I=\frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{32}+\frac{\ln2}{8}$

   Numéricamente esto es $0.09375+0.0866434=0.1803933976$. Una malla de puntos medios de $3000\times3000$ sobre el cuadrado unidad da $0.1803933889$: coincidencia en siete decimales, la precisión esperable de un método de malla sobre un integrando con un quiebre ✓.