Derivar y = e^x/((e^x + e^(−x))²) y simplificar el resultado.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribir el cociente como un producto. Subir el denominador como potencia negativa evita el numerador aparatoso de la regla del cociente:

   $y=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$

   Ahora se aplica la regla del producto $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ con $u=e^{x}$ y $v=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$.

2. 2

   Derivar cada pieza. Para $u$, $u'=e^{x}$. Para $v$, la regla de la cadena necesita la derivada de lo de dentro

   $\frac{d}{dx}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=e^{x}-e^{-x}$

   (el segundo término recoge un signo menos de su propia regla de la cadena), así que

   $v'=-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

3. 3

   Montar la regla del producto.

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}-2e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

4. 4

   Extraer como factor la potencia más baja. El factor común es $e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}$ —se toma el exponente más negativo—, de modo que el primer término deja un factor sobrante de $\left(e^{x}+e^{-x}\right)$:

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left[\left(e^{x}+e^{-x}\right)-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)\right]$

5. 5

   Simplificar el corchete y multiplicar. Al distribuir el $-2$:

   $e^{x}+e^{-x}-2e^{x}+2e^{-x}=-e^{x}+3e^{-x}$

   y al multiplicar por el $e^{x}$ de fuera se usa $e^{x}\cdot e^{-x}=1$:

   $e^{x}\left(-e^{x}+3e^{-x}\right)=-e^{2x}+3$

   lo que da el resultado compacto

   $\frac{dy}{dx}=\frac{3-e^{2x}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{3}}$

6. 6

   Verificar numéricamente y localizar el extremo. Una diferencia central con $h=10^{-6}$ coincide con esta fórmula en $x=-1.2$, $0$, $0.7$ y $1.9$ con un error inferior a $10^{-6}$ ✓. La derivada se anula cuando $e^{2x}=3$, es decir, en $x=\tfrac12\ln3\approx0.5493$: el único máximo de $y$, y el cambio de signo de $+$ a $-$ en ese punto lo confirma.