Hallar el límite de (1 + 1/x)^(x² / e^x) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Revisar dónde está definida siquiera la expresión. Para $x<0$ pequeño la base $1+\tfrac1x$ es negativa (en $x=-0.1$ vale $-9$), y una base negativa elevada a una potencia real arbitraria no está definida sobre los reales. Así que solo se puede hablar del límite por la derecha, y toda respuesta debe rotularse como $x\to 0^{+}$.

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   Identificar la forma indeterminada. Cuando $x\to 0^{+}$:

   $1+\frac1x\to+\infty,\qquad \frac{x^2}{e^x}\to\frac{0}{1}=0$

   Esto es $\infty^{0}$, que es genuinamente indeterminado: puede dar cualquier número positivo según la rapidez con que se mueva cada parte.

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   Tomar logaritmos para convertir la potencia en un producto. Poniendo $L=\left(1+\tfrac1x\right)^{x^2/e^x}$,

   $\ln L=\frac{x^2}{e^x}\ln\left(1+\frac1x\right)$

   Los logaritmos son la herramienta estándar para toda forma $\infty^{0}$, $0^{0}$ o $1^{\infty}$: convierten la disputa entre base y exponente en un producto sencillo.

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   Estimar el logaritmo. Para $x$ positivo y pequeño, $1+\tfrac1x\sim\tfrac1x$, de modo que $\ln\left(1+\tfrac1x\right)\sim-\ln x$. Como $e^x\to 1$, todo el producto se comporta como

   $\ln L\sim x^2\ln\frac1x$

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   Usar el límite estándar $x^{a}\ln x\to 0$. Cualquier potencia positiva de $x$ le gana al logaritmo:

   $\lim_{x\to 0^{+}}x^2\ln\frac1x=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 0^{+}}\ln L=0$

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   Exponenciar de vuelta. Como $\ln L\to 0$ y $\exp$ es continua,

   $\lim_{x\to 0^{+}}L=e^{0}=1$

   Numéricamente: en $x=0.01$ el valor es $1.000457$ y en $x=10^{-5}$ es $1.0000000012$, y converge a $1$ ✓. El límite bilateral no existe, porque la función no está definida a la izquierda de $0$.