Calcula la integral iterada: la integral desde x = 0 hasta 1 en dx, con la integral interior de y dy tomada desde y = x hasta y = √(1 − x²) + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Haz la integral interior, donde $x$ es una constante. El integrando es simplemente $y$, así que

   $\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}=\frac12\Bigl(\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}-x^{2}\Bigr).$

   Antes de desarrollar, observa que los límites son coherentes en $[0,1]$: el límite superior $\sqrt{1-x^{2}}+1$ vale al menos $1$ mientras que el inferior $x$ vale como mucho $1$, así que la región no es degenerada.

2. 2

   Desarrolla el cuadrado — aquí es donde sobrevive la $\sqrt{\;}$.

   $\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}=(1-x^{2})+2\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}.$

   El producto cruzado $2\sqrt{1-x^{2}}$ es la única pieza no polinómica; todo lo demás es elemental.

3. 3

   Simplifica el resultado interior.

   $\frac12\Bigl(2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\Bigr)=\frac12\Bigl(2-2x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)=1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}.$

   Así que la integral doble se ha convertido en la integral simple $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)dx$.

4. 4

   Separa y evalúa cada pieza. Las dos primeras son inmediatas:

   $\int_{0}^{1}1\,dx=1,\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac13.$

   Para la tercera, $y=\sqrt{1-x^{2}}$ en $[0,1]$ recorre el cuarto de circunferencia unitaria del primer cuadrante, así que su integral es el área del cuarto de disco $\pi/4$ — sin necesidad de ninguna sustitución trigonométrica.

5. 5

   Combina y comprueba.

   $1-\frac13+\frac{\pi}{4}=\frac23+\frac{\pi}{4}.$

   Numéricamente $2/3+\pi/4=1.4520648301$, y la cuadratura adaptativa de $1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$ sobre $[0,1]$ devuelve $1.4520648301$ — el mismo valor hasta la décima cifra decimal.