Hallar el límite de (tan x / x)^(1/x) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Identificar la indeterminación. Cuando $x\to0$, $\tan x\sim x$, así que la base $\tfrac{\tan x}{x}\to1$, mientras que el exponente $\tfrac1x\to\pm\infty$. Eso es $1^{\infty}$ - genuinamente indeterminado, porque una base apenas mayor que $1$ elevada a una potencia enorme puede ir a cualquier parte.

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   Tomar logaritmos para bajar el exponente. Llamando $L$ al límite,

   $\ln L=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)$

   Ahora toda la pregunta es: ¿qué tan rápido se acerca la base a $1$ comparado con qué tan rápido se dispara el exponente?

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   Desarrollar la base con suficientes órdenes. De $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$,

   $\frac{\tan x}{x}=1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$

   Lo clave es el $x^2$: la base se acerca a $1$ de forma cuadrática, más rápido de lo que se dispara la única potencia de $x$ del exponente.

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   Aplicar $\ln(1+u)\approx u$. Con $u=\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)$,

   $\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x^2}{3}+O(x^4)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x}{3}+O(x^3)$

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   Tomar el límite y deshacer el logaritmo. Como $\tfrac{x}{3}\to0$ por ambos lados, $\ln L=0$ y

   $L=e^{0}=1$

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   Confirmar numéricamente por ambos lados. En $x=0.001$ la expresión vale $1.000333$; en $x=-0.001$ vale $0.999667$. Ambas se aprietan hacia $1$ cuando $x\to0$, y la coincidencia por los dos lados confirma que el límite existe ✓.