¿Es la integral indefinida de x respecto de x igual a x²/2? Justifica la respuesta.

Step-by-step solution

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   Aplica la regla de la potencia para primitivas. Para cualquier exponente $n\ne -1$,

   $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   Aquí $x=x^{1}$, así que $n=1$ y

   $\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C$

2. 2

   Verifica el candidato derivando de vuelta. La integración solo se comprueba de una manera: derivando la respuesta:

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2x}{2}=x\ \checkmark$

   Así que $\dfrac{x^{2}}{2}$ sí es una primitiva de $x$. La fórmula del enunciado no es tanto incorrecta como incompleta.

3. 3

   Entiende por qué no se puede suprimir el $+C$. La derivación aniquila las constantes, así que para todo $C$ real,

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x$

   Por ejemplo, $\tfrac{x^{2}}{2}$, $\tfrac{x^{2}}{2}+7$ y $\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{1}{3}$ derivan todas en $x$. Escribir solo una de ellas como «la» integral descarta en silencio infinitas respuestas igual de válidas.

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   Ten claro que $C$ las recoge todas. El teorema del valor medio garantiza que dos primitivas de la misma función en un intervalo se diferencian en una constante, así que la familia $\tfrac{x^{2}}{2}+C$ no son algunas primitivas: son todas las primitivas de $x$. Eso es exactamente lo que denota la notación $\int x\,dx$.

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   Fíjate en cuándo la constante sí desaparece. En una integral definida la constante se cancela:

   $\int_{0}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+C\right]_{0}^{3}=\left(\frac92+C\right)-\left(0+C\right)=\frac92$

   Así que hay que escribir $+C$ en una integral indefinida, y se puede ignorar sin riesgo en una definida.