Calcula la integral triple de yz sobre la región 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ x².

Step-by-step solution

1. 1

   Observa qué variable controla el límite interno. El rango de $z$ va de $0$ a $x^2$: depende de $x$, la variable más externa, no de $y$. Eso es perfectamente legítimo, y significa que la integración en $y$ puede hacerse con independencia de $z$ una vez evaluada la integral interna.

2. 2

   Integra en z tratando y como una constante.

   $\int_0^{x^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{x^2} = y \cdot \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4 y}{2}$

   Al elevar al cuadrado el límite superior queda $x^4$, no $x^2$: en este paso se decide la potencia final de $\pi$.

3. 3

   Integra en y desde 0 hasta 2. Ahora $x^4/2$ es constante:

   $\int_0^2 \frac{x^4 y}{2}\,dy = \frac{x^4}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{2} = \frac{x^4}{2}\cdot 2 = x^4$

4. 4

   Integra en x desde 0 hasta 2π.

   $\int_0^{2\pi} x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^5}{5}$

5. 5

   Simplifica la potencia. Como $(2\pi)^5 = 2^5\pi^5 = 32\pi^5$:

   $\iiint yz\,dV = \frac{32\pi^5}{5} \approx 1958.53$

   Hay que desarrollar el $2^5 = 32$: escribir $2\pi^5/5$ en su lugar fallaría por un factor de $32$. Fíjate en que $\pi$ no desempeña aquí ningún papel trigonométrico; es simplemente el límite superior numérico $2\pi \approx 6.2832$.