Resuelve la ecuación diferencial dy = dx/(y − 1)².

Step-by-step solution

1. 1

   Reescríbela en forma de derivada. Dividiendo entre $dx$:

   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(y-1)^2}$

   El miembro derecho depende solo de $y$, así que la ecuación es separable. Anota la restricción $y\neq1$, donde el miembro derecho no está definido.

2. 2

   Separa las variables. Multiplica ambos miembros por $(y-1)^2$ y por $dx$:

   $(y-1)^2\,dy=dx$

   El factor al cuadrado pasa al lado de $y$, que es justo lo que vuelve elemental la integral.

3. 3

   Integra ambos miembros. Sustituir $u=y-1$ (de modo que $du=dy$) convierte la integral de la izquierda en una potencia simple:

   $\int(y-1)^2dy=\int u^2du=\frac{u^3}{3}=\frac{(y-1)^3}{3},\qquad \int dx=x+C$

   de donde

   $\frac{(y-1)^3}{3}=x+C$

4. 4

   Elimina la fracción. Multiplicar por $3$ absorbe la constante ($3C$ es tan arbitraria como $C$):

   $(y-1)^3=3x+C$

   Esta es la solución general en forma implícita.

5. 5

   Despeja y de forma explícita. Las raíces cúbicas son univaluadas sobre los reales — a diferencia de las raíces cuadradas, no hay $\pm$ ni caso de signo que considerar:

   $y-1=\sqrt[3]{3x+C}\qquad\Longrightarrow\qquad y=1+\sqrt[3]{3x+C}$

   La solución pasa por $y=1$ exactamente donde $3x+C=0$; ahí la derivada es infinita, así que la curva tiene tangente vertical.

6. 6

   Verifica derivando implícitamente. A partir de $(y-1)^3=3x+C$: $3(y-1)^2y'=3$, de modo que $y'=\dfrac{1}{(y-1)^2}$ ✓ — la ecuación original. Numéricamente, con $C=2$ en $x=0.5,\,2.0,\,4.0$, el cociente incremental de $y=1+\sqrt[3]{3x+2}$ coincide con $\tfrac{1}{(y-1)^2}$ hasta cuatro cifras ✓.