Halla el límite de ln(100x¹⁰⁰ + 5x + 3) / ln(2x²⁰ + 3x² − 2) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la forma. Los dos logaritmos tienden a $+\infty$, así que el cociente es del tipo $\tfrac{\infty}{\infty}$. La regla de L'Hôpital funcionaría, pero produce un enredo de funciones racionales; aprovechar la estructura del $\ln$ es mucho más limpio.

2. 2

   Reemplaza cada polinomio por su término principal. Cuando $x\to\infty$,

   $100x^{100}+5x+3\sim100x^{100},\qquad2x^{20}+3x^{2}-2\sim2x^{20}$

   Esta sustitución es legítima dentro de un logaritmo porque la parte despreciada aporta $\ln\left(1+o(1)\right)\to0$, un término aditivo que se desvanece, no un error multiplicativo.

3. 3

   Separa cada logaritmo con $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

   $\ln\left(100x^{100}\right)=\ln100+100\ln x,\qquad\ln\left(2x^{20}\right)=\ln2+20\ln x$

   Los exponentes bajan como multiplicadores de $\ln x$: aquí es donde toman el mando los grados $100$ y $20$.

4. 4

   Divide numerador y denominador entre $\ln x$. Como $\ln x\to\infty$:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\ln100}{\ln x}+100}{\frac{\ln2}{\ln x}+20}=\frac{0+100}{0+20}=5$

   Los coeficientes principales $100$ y $2$ desaparecen por completo: dentro de un logaritmo, un factor constante es solo una constante aditiva, despreciable frente a $\ln x$.

5. 5

   Enuncia la regla general y verifícala. Para polinomios de grados $p$ y $q$, el límite del cociente de logaritmos es simplemente $\tfrac{p}{q}$; aquí $\tfrac{100}{20}=5$ ✓. Numéricamente, la expresión da $5.0244$ en $x=10$, $5.0123$ en $x=100$, $5.0025$ en $x=10^{10}$ y $5.00025$ en $x=10^{100}$ ✓: una convergencia lenta pero inequívoca hacia $5$, y esa lentitud es característica de los límites logarítmicos.