Halla el límite de ln(eˣ + x) / (x² + 1) cuando x tiende a más infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   No separar el logaritmo de una suma. $\ln(e^x+x)$ no es $\ln e^x+\ln x$. El movimiento legítimo es factorizar el término dominante dentro del logaritmo y aplicar después $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ al producto resultante.

2. 2

   Factorizar el término dominante $e^{x}$ dentro del logaritmo. Para $x$ grande, $e^x$ empequeñece a $x$, así que

   $e^{x}+x=e^{x}\left(1+xe^{-x}\right)$

   y por lo tanto

   $\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+xe^{-x}\right)=x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)$

3. 3

   Mostrar que el término de corrección es despreciable. Como las exponenciales ganan a los polinomios, $xe^{-x}\to 0$, de donde

   $\ln\left(1+xe^{-x}\right)\to\ln 1=0$

   Así que el numerador es $x$ más algo que se anula: crece exactamente como $x$, no más rápido.

4. 4

   Comparar las dos velocidades de crecimiento. El cociente queda

   $\frac{x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)}{x^{2}+1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

   Un numerador de grado 1 sobre un denominador de grado 2 siempre tiende a cero.

5. 5

   Enunciar el límite y confirmarlo numéricamente.

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x^{2}+1}=0$

   En $x=100$ el valor es $0.009999$ y en $x=500$ es $0.002000$ — se reduce a la mitad cuando $x$ se duplica, justo el decaimiento $1/x$ predicho.