Analiza la curva y = −2x² e^x: halla sus intersecciones, sus extremos relativos y su comportamiento cuando x tiende a más y a menos infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Establece primero el signo de toda la función. Para todo $x$ real se tiene $x^2\ge0$ y $e^x>0$, así que

   $-2x^2e^x\le0$

   Por tanto la curva queda por completo sobre el eje $x$ o por debajo de él, y lo toca solo donde $x^2=0$. Saber esto antes de derivar descarta media gráfica.

2. 2

   Halla las intersecciones. Al poner $y=0$: como $e^x$ nunca es cero, hace falta $x^2=0$, es decir, $x=0$. Tanto la intersección con el eje $x$ como la del eje $y$ son el mismo punto $(0,0)$.

3. 3

   Deriva con la regla del producto. Con $u=-2x^2$ y $v=e^x$:

   $y'=-4xe^x+\left(-2x^2\right)e^x=-2e^x\left(x^2+2x\right)=-2e^xx(x+2)$

   Sacar factor común $-2e^x$ deja los puntos críticos legibles de un vistazo.

4. 4

   Localiza los puntos críticos. Como $e^x\neq0$, para que $y'=0$ hace falta $x(x+2)=0$:

   $x=0\qquad\text{o}\qquad x=-2$

   En $x=0$, $y=0$. En $x=-2$:

   $y=-2(-2)^2e^{-2}=-8e^{-2}=-\frac{8}{e^2}\approx-1.083$

5. 5

   Clasifícalos por el signo de y'. El factor $-2e^x$ es siempre negativo, así que $y'$ tiene el signo opuesto al de $x(x+2)$: negativo para $x<-2$, positivo para $-2<x<0$ y negativo para $x>0$. Por tanto la curva baja, luego sube y luego vuelve a bajar, lo que da un mínimo relativo en $\left(-2,-\tfrac{8}{e^2}\right)$ y un máximo relativo en $(0,0)$. El valor máximo $0$ es además el máximo global, coherente con el paso 1.

6. 6

   Determina el comportamiento en los extremos. Cuando $x\to-\infty$, $e^x\to0$ mucho más rápido de lo que crece $x^2\to\infty$, así que $y\to0^-$: el eje $x$ es una asíntota horizontal a la que se acerca por debajo. Cuando $x\to+\infty$, los dos factores crecen y $y\to-\infty$, en caída vertiginosa. Así que la forma es: pegada al eje por debajo en el extremo izquierdo, con una bajada hasta $-1.083$ en $x=-2$, de vuelta arriba para tocar el origen y luego una caída sin límite.

7. 7

   Verifica los números clave. Los cocientes de diferencias simétricas con paso $10^{-7}$ coinciden con $y'=-2e^xx(x+2)$ en $x=-3,-1,0.5,2$ ✓. Valores de muestra: $y(-4)=-0.586$, $y(-3)=-0.896$, $y(-2)=-1.083$, $y(-1)=-0.736$, $y(1)=-5.437$, $y(2)=-59.112$, todos recalculados y confirmando tanto la bajada en $x=-2$ como la fuerte caída por la derecha ✓.