Halla y simplifica el cociente incremental (f(x + h) − f(x))/h, con h distinto de 0, para f(x) = 8 − 11x.

Step-by-step solution

1. 1

   Construye $f(x+h)$ sustituyendo, y usa paréntesis. Reemplaza cada $x$ de la regla por la cantidad completa $x+h$:

   $f(x+h) = 8 - 11(x+h) = 8 - 11x - 11h$

   Escribir $8 - 11x + h$, es decir distribuir el $-11$ solo al primer término, es el descuido más frecuente.

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   Forma el numerador y cuida la resta. Restar $f(x)$ significa restar toda la expresión, así que sus dos términos cambian de signo:

   $f(x+h) - f(x) = (8 - 11x - 11h) - (8 - 11x) = 8 - 11x - 11h - 8 + 11x$

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   Cancela todo lo que no lleve $h$. El $8$ y el $-8$ se cancelan, y $-11x$ y $+11x$ también:

   $f(x+h) - f(x) = -11h$

   Que desaparezca toda $x$ es una señal de que la función es lineal.

4. 4

   Divide entre $h$. Como $h \neq 0$, la división es legítima:

   $\frac{-11h}{h} = -11$

   No sobrevive ninguna $h$ ni ninguna $x$.

5. 5

   Interpreta el resultado constante. El cociente incremental es la pendiente de la recta secante que pasa por $(x, f(x))$ y $(x+h, f(x+h))$. En una recta toda secante es la propia recta, así que el cociente tiene que ser la pendiente constante $-11$, que coincide con el coeficiente de $x$ en $f(x) = 8 - 11x$. Tomando $h \to 0$ resulta entonces $f'(x) = -11$, como se esperaba.

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   Compara con una cuadrática. Para $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ el mismo procedimiento da $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 4x + 2h - 3$, que todavía contiene tanto $x$ como $h$. Que sobre una $h$ es lo normal en funciones no lineales; que aquí no sobre es precisamente lo que identifica a $8-11x$ como lineal.

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   Verifica numéricamente. Toma $x = 2$, $h = 0.1$: $f(2.1) = 8 - 23.1 = -15.1$ y $f(2) = 8 - 22 = -14$, así que el cociente es $\dfrac{-15.1 + 14}{0.1} = \dfrac{-1.1}{0.1} = -11$ ✓, independiente de $h$ como se afirmaba.