Halla la integral indefinida de 3/x − 2/x² respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Separar por linealidad y sacar las constantes.

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\int\frac{dx}{x}-2\int\frac{dx}{x^2}$

   El dominio es $x\neq0$, y la primitiva es válida por separado en $(-\infty,0)$ y en $(0,\infty)$.

2. 2

   Primer término: el único caso que la regla de la potencia no puede tratar. Escribiendo $\tfrac1x=x^{-1}$, la regla $\int x^ndx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ dividiría entre $n+1=0$. Así que $n=-1$ es la excepción, y se trata con el logaritmo:

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   El valor absoluto es lo que mantiene válida la fórmula para $x$ negativo. El primer término aporta entonces $3\ln|x|$.

3. 3

   Segundo término: la regla de la potencia se aplica con normalidad. Aquí $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ y $n+1=-1\neq0$:

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   de modo que $2\int x^{-2}dx=-\dfrac{2}{x}$.

4. 4

   Aplicar el signo menos que va delante. El integrando resta esa segunda pieza:

   $-2\int x^{-2}dx=-\left(-\frac{2}{x}\right)=+\frac{2}{x}$

   Ese cambio de signo es el paso que más se olvida — la respuesta lleva $+\tfrac2x$, no $-\tfrac2x$.

5. 5

   Reunir todo en una sola primitiva.

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\ln|x|+\frac{2}{x}+C$

   Dos términos de aspecto parecido producen dos tipos de función completamente distintos: un logaritmo y un término racional.

6. 6

   Verificar derivando. $\dfrac{d}{dx}\left[3\ln|x|+\tfrac2x\right]=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}$ ✓. Numéricamente, los cocientes de diferencias simétricas en $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ coinciden con el integrando hasta cinco cifras ✓, incluido un $x$ negativo.