Reescribe ln(x + √(a² + x²)) en términos del seno hiperbólico inverso, suponiendo a > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Recuerda la forma logarítmica de arsinh. Despejar $t$ en $\sinh t=u$ da

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   Fíjate en el $+1$ bajo la raíz: la forma estándar no tiene ningún parámetro libre, así que primero hay que escalar la expresión dada hasta esa forma. Esta expresión aparece constantemente como primitiva de $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$, y por eso vale la pena conocer la reescritura.

2. 2

   Escala la variable dividiendo por $a$. Sustituyendo $u=\dfrac{x}{a}$ en la identidad:

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)$

3. 3

   Simplifica el radical. Combinando sobre $a^{2}$ y usando que $a>0$, de modo que $\sqrt{a^{2}}=a$:

   $\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}=\sqrt{\frac{x^{2}+a^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}$

   La hipótesis $a>0$ es esencial aquí; para $a<0$ aparecería un valor absoluto y la constante final cambiaría.

4. 4

   Reúne los dos términos sobre $a$.

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)-\ln a$

   usando $\ln\frac MN=\ln M-\ln N$.

5. 5

   Reordena para responder a la pregunta.

   $\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+\ln a$

   Las dos expresiones difieren únicamente en la constante aditiva $\ln a$, y eso es exactamente por lo que ambas aparecen como primitivas válidas de $\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$ en distintas tablas.

6. 6

   Verifica numéricamente. Con $a=2.7$ y $x=1.3$: el lado izquierdo vale $\ln(1.3+\sqrt{7.29+1.69})=1.4578391$, y $\operatorname{arsinh}(0.4814815)+\ln 2.7=0.4645873+0.9932518=1.4578391$ ✓.