Evalúa el límite de sen(9x)/cot(12x) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Reconoce por qué la sustitución directa se atasca. En $x=0$ el numerador $\sin(9x)$ tiende a $0$, mientras que $\cot(12x)=\cos(12x)/\sin(12x)$ se dispara. Un cociente de la forma $0/\infty$ no es una forma indeterminada, pero la cotangente oculta ese hecho, así que reescríbela antes de decidir nada.

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   Sustituye la cotangente por seno y coseno. Usando $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, dividir entre $\cot(12x)$ es lo mismo que multiplicar por su recíproco $\tan(12x)$: $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

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   Comprueba qué hace cada factor cuando $x\to 0$. El seno es continuo con $\sin 0=0$, de modo que $\sin(9x)\to 0$ y $\sin(12x)\to 0$. El coseno es continuo con $\cos 0=1$, de modo que $\cos(12x)\to 1$. Lo crucial es que el denominador ya no tiende a $0$, así que no hace falta cancelar nada ni recurrir a L'Hôpital.

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   Sustituye los límites. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{0\cdot 0}{1}=0.$

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   Comprobación numérica. En $x=0.01$ la expresión vale $\sin(0.09)\tan(0.12)\approx 0.0899\times 0.1206\approx 0.01084$, y en $x=0.001$ es de unos $0.000108$ — se reduce aproximadamente en un factor de $100$ cada vez que $x$ se reduce en $10$, exactamente lo que predice el comportamiento dominante $108x^2$. El límite es $0$.