Calcula la integral doble de x*cos(x + y) sobre el triángulo de vértices (0,0), (π,0) y (π,π).

Step-by-step solution

1. 1

   Describe el triángulo con desigualdades. Los tres vértices se unen mediante $y=0$, $x=\pi$ y $y=x$, así que la región es $\{0\le x\le\pi,\ 0\le y\le x\}$. Integrar primero en $y$ deja los límites variables en la parte interior, que es donde corresponden.

2. 2

   Integra en y. $\int_0^{x}\cos(x+y)\,dy=\left[\sin(x+y)\right]_0^{x}=\sin 2x-\sin x$, de modo que el resultado interior arrastra el factor $x$ por delante: $x\left(\sin 2x-\sin x\right)$.

3. 3

   Sepáralo en dos integrales estándar. $\int_0^{\pi}x\sin 2x\,dx$ y $\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$, las dos se resuelven por partes con $u=x$.

4. 4

   Evalúa la primera por partes. $\int x\sin 2x\,dx=-\frac{x\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$. En $x=\pi$ esto vale $-\frac{\pi}{2}$ (porque $\cos 2\pi=1$ y $\sin 2\pi=0$) y en $x=0$ vale $0$, así que el valor es $-\frac{\pi}{2}$.

5. 5

   Evalúa la segunda por partes. $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$. En $x=\pi$ esto vale $\pi$ (porque $\cos\pi=-1$) y en $x=0$ vale $0$, así que el valor es $\pi$.

6. 6

   Combina respetando el signo menos. La integral vale $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712389$.

7. 7

   Comprobación numérica. Una cuadratura adaptativa sobre el triángulo devuelve $-4.71238898$, y $-\frac{3\pi}{2}=-4.71238898$, con lo que el valor exacto queda confirmado.