Halla la integral indefinida de x²·e^(−x²) respecto de x.

Step-by-step solution

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   Separa $x^{2}$ de modo que una $x$ acompañe a la exponencial. El factor $xe^{-x^{2}}$ sí tiene primitiva elemental (su derivada interior es $-2x$), mientras que $e^{-x^{2}}$ por sí solo no la tiene. Así que toma

   $u=x,\qquad dv=xe^{-x^{2}}\,dx.$

   Separarlo al revés, con $dv=e^{-x^{2}}dx$, se atasca de inmediato: la elección del emparejamiento es todo el truco.

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   Halla $v$ por sustitución. Con $t=-x^{2}$, $dt=-2x\,dx$:

   $v=\int xe^{-x^{2}}dx=-\frac12\int e^{t}\,dt=-\frac12 e^{-x^{2}}.$

   Además $du=dx$. El $-\tfrac12$ proviene del $\frac{1}{-2}$ de la sustitución y hay que arrastrarlo hasta el final.

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   Aplica la integración por partes. Usando $\int u\,dv=uv-\int v\,du$:

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=x\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)-\int\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac12\int e^{-x^{2}}dx.$

   La integral que queda es la gaussiana, más sencilla que la de partida, señal de que el emparejamiento se eligió bien.

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   Expresa la gaussiana con la función error. $\int e^{-x^{2}}dx$ no tiene primitiva elemental. La función error se define precisamente para ponerle nombre:

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\;\Longrightarrow\;\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C.$

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   Arma el resultado y verifícalo. Sustituyendo de vuelta,

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(x)+C.$

   Al derivar: $-\tfrac12 e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}+\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}$ ✓: los dos medios términos se cancelan exactamente. Una comprobación numérica en $x=0.9$ da $0.3603350$ por ambos caminos ✓. Como extra, dado que $\operatorname{erf}(\infty)=1$ y el primer término se anula, $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$.