Simplifica (cos x − cos³x)/x² y evalúa su límite cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Revisar la forma. En $x=0$ el numerador vale $1-1=0$ y el denominador vale $0$, así que el cociente es $\tfrac00$ — indeterminado, y hace falta simplificar antes de poder leer el límite.

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   Factorizar el numerador. Los dos términos comparten un factor $\cos x$:

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\left(1-\cos^{2}x\right).$

   Sacar el factor común es lo que deja al descubierto la identidad pitagórica escondida en el paréntesis.

3. 3

   Aplicar la identidad pitagórica. Como de $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ se sigue $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$,

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\,\sin^{2}x,$

   de modo que toda la expresión se convierte en $\dfrac{\cos x\sin^{2}x}{x^{2}}$. El $x^{2}$ del denominador tiene ahora una pareja evidente: $\sin^{2}x$.

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   Separar en piezas estándar. Agrupa el $\sin^{2}x$ con el $x^{2}$:

   $\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=\cos x\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.$

   Esta es la forma simplificada, válida para todo $x\ne 0$, y está construida enteramente con cantidades cuyos límites en $0$ se conocen.

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   Tomar el límite. Usando $\lim_{x\to0}\cos x=1$ y el límite fundamental $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, junto con las reglas del producto y de la potencia:

   $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=1\cdot 1^{2}=1.$

   Confirmación numérica: en $x=0.1$ el cociente vale $0.99169$, en $x=0.01$ vale $0.999917$ y en $x=0.001$ vale $0.99999917$ ✓ — converge a $1$ por debajo, tal como predice que $\cos x<1$.