Evalúa la integral doble de x·y·e^(x²·y) sobre la región D = {−2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 5π/2}.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la variable interior de modo que quede disponible una sustitución. El exponente $x^2y$ se deriva como $2xy$ respecto de $x$, y el integrando ya lleva un factor $xy$. Así que integra primero en $x$; integrar primero en $y$ exigiría en cambio integración por partes.

2. 2

   Sustituye u = x^2 y en la integral interior. Entonces $du=2xy\,dx$, así que $xy\,dx=\tfrac12\,du$. Los límites se transforman como $x=-2\Rightarrow u=4y$ y $x=0\Rightarrow u=0$ (observa que $x$ es negativo, pero $x^2$ no).

3. 3

   Evalúa la integral interior. $\int_{-2}^{0}xy\,e^{x^2y}\,dx=\frac12\int_{4y}^{0}e^u\,du=\frac12\left(e^0-e^{4y}\right)=\frac{1-e^{4y}}{2}$. Los límites en $u$ invertidos son los que hacen que el resultado sea negativo para $y>0$.

4. 4

   Integra el resultado en y. $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}\,dy=\frac12\left[y-\frac{e^{4y}}{4}\right]_0^{5\pi/2}=\frac12\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{e^{10\pi}}{4}+\frac14\right)$.

5. 5

   Distribuye el un medio. El valor exacto es $\frac{5\pi}{4}+\frac18-\frac{e^{10\pi}}{8}$. El término exponencial domina por completo, ya que $e^{10\pi}\approx 4.4031\times 10^{13}$.

6. 6

   Comprobación numérica. La forma cerrada da $-5.5039382325749\times 10^{12}$, y la cuadratura adaptativa de $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}dy$ devuelve también $-5.5039382325749\times 10^{12}$, con coincidencia en 13 cifras significativas.