Calcula la integral de 0 a π de x por (sen 2x - sen x) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa por linealidad. Cada pieza es un polinomio por una función trigonométrica, la forma estándar para integrar por partes:

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx-\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

   En ambas se elige $u=x$ (que al derivar se reduce a $1$) y $dv$ la parte del seno.

2. 2

   Primera integral: $\displaystyle\int x\sin2x\,dx$. Con $u=x$, $dv=\sin2x\,dx$, de modo que $du=dx$ y $v=-\tfrac12\cos2x$:

   $\int x\sin2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac12\int\cos2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac14\sin2x$

   Los factores interiores de $\tfrac12$ provienen de la regla de la cadena sobre $2x$ y son lo más fácil de perder aquí.

3. 3

   Evalúa la primera integral en $[0,\pi]$. En $x=\pi$: $\cos2\pi=1$ y $\sin2\pi=0$, lo que da $-\tfrac{\pi}{2}$. En $x=0$: ambos términos se anulan. Así que

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-\frac{\pi}{2}$

   La cuadratura de Simpson devuelve $-1.5707963$ ✓, que coincide con $-\tfrac\pi2$.

4. 4

   Segunda integral: $\displaystyle\int x\sin x\,dx$. Con $u=x$, $dv=\sin x\,dx$, de modo que $v=-\cos x$:

   $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$

   En $x=\pi$: $-\pi(-1)+0=\pi$. En $x=0$: $0$. Así que $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\pi$, confirmado numéricamente como $3.1415927$ ✓.

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   Resta para terminar.

   $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx-4.712389$

   La cuadratura de Simpson aplicada directamente al integrando original da $-4.71238898$ ✓, coincidiendo hasta la octava cifra decimal.

6. 6

   Revisa el signo. En $(0,\pi)$ el término $-x\sin x$ es negativo en todo el intervalo, mientras que $x\sin2x$ aporta una joroba positiva en $\left(0,\tfrac\pi2\right)$ y otra negativa mayor en $\left(\tfrac\pi2,\pi\right)$ — mayor porque allí el peso $x$ es más grande. Ambas partes empujan por tanto el total hacia lo negativo, coherente con $-\tfrac{3\pi}{2}$.