Halla el límite cuando x tiende a 2 de (la raíz cuadrada de (3x − 2), menos 2) dividido entre (la raíz cuadrada de x, menos la raíz cuadrada de 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Confirmar la forma indeterminada. En $x=2$ el numerador vale $\sqrt{6-2}-2 = 2-2 = 0$ y el denominador vale $\sqrt2-\sqrt2 = 0$, así que es $\tfrac00$ y la sustitución directa falla.

2. 2

   Sustituir t = √x para volver lineal el denominador. Con $x=t^2$ y $t\to\sqrt2$, $\lim_{t\to\sqrt2}\frac{\sqrt{3t^2-2}-2}{t-\sqrt2}.$ Un denominador lineal de la forma $t-c$ es la firma de una derivada.

3. 3

   Reconocer el cociente incremental. Toma $f(t)=\sqrt{3t^2-2}$. Entonces $f(\sqrt2)=\sqrt{6-2}=2$, así que la expresión es exactamente $\frac{f(t)-f(\sqrt2)}{t-\sqrt2} \longrightarrow f'(\sqrt2).$

4. 4

   Derivar con la regla de la cadena. $f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2-2)^{-1/2}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2-2}}.$

5. 5

   Evaluar la derivada en t = √2. $f'(\sqrt2) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt{3\cdot2-2}} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2.121320.$

6. 6

   Contrastar racionalizando en su lugar. Multiplicar por $\dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt x+\sqrt2}$ convierte el cociente en $\dfrac{3(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt{3x-2}+2}$, que en $x=2$ da $3\cdot\dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac{3\sqrt2}{2}$ — el mismo valor. Evaluar la expresión original en $x=2.000001$ da $2.1213202$, lo que lo confirma numéricamente.