Halla el área de la superficie de la porción del plano z = −2x + 4y + 1 situada sobre la región 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5. Da una respuesta exacta.

Step-by-step solution

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   Recuerda la fórmula del área de superficie. Para una gráfica $z=f(x,y)$ sobre una región $R$, $S=\iint_R\sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA.$

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   Deriva el plano. Con $f(x,y)=-2x+4y+1$ se tiene $f_x=-2$ y $f_y=4$ en todo punto. Como $f$ es lineal, son constantes: eso es lo que vuelve trivial la integral.

3. 3

   Evalúa el integrando. $\sqrt{1+(-2)^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.$ Observa que el signo de $f_x$ es irrelevante una vez elevado al cuadrado.

4. 4

   Saca la constante fuera de la integral. $S=\iint_R\sqrt{21}\,dA=\sqrt{21}\iint_R dA=\sqrt{21}\cdot\operatorname{area}(R).$

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   Calcula el área de la base y termina. El rectángulo tiene área $3\times 5=15$, así que $S=15\sqrt{21}\approx 68.7386.$ Geométricamente, $\sqrt{21}$ es el factor constante por el que un plano inclinado estira el área horizontal.