Hallar la integral indefinida de x⁵ / √(x² + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Aprovechar la potencia impar de $x$. Como el exponente $5$ es impar, un factor $x$ se puede emparejar con $dx$ para formar $du$, y el $x^{4}$ restante es una potencia par que se puede escribir por completo en términos de $x^{2}$. Esta es la razón habitual por la que $u=x^{2}+1$ funciona aquí y no funcionaría con una potencia par.

2. 2

   Plantear la sustitución.

   $u=x^{2}+1\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx\ \Longrightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du,\qquad x^{2}=u-1$

   Entonces

   $x^{5}dx=\left(x^{2}\right)^{2}\cdot x\,dx=(u-1)^{2}\cdot\tfrac12\,du$

3. 3

   Reescribir toda la integral en $u$.

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac12\int\frac{(u-1)^{2}}{\sqrt u}\,du=\frac12\int\left(u^{3/2}-2u^{1/2}+u^{-1/2}\right)du$

   Desarrollar $(u-1)^2=u^2-2u+1$ y dividir cada término entre $u^{1/2}$ baja todos los exponentes en $\tfrac12$.

4. 4

   Integrar cada potencia con la regla $\int u^{p}du=\frac{u^{p+1}}{p+1}$.

   $\int u^{3/2}du=\tfrac25u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}du=\tfrac23u^{3/2},\qquad \int u^{-1/2}du=2u^{1/2}$

5. 5

   Combinar y repartir el medio de afuera.

   $\frac12\left(\frac25u^{5/2}-\frac43u^{3/2}+2u^{1/2}\right)=\frac15u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+u^{1/2}$

6. 6

   Deshacer la sustitución y comprobar.

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac15\left(x^{2}+1\right)^{5/2}-\frac23\left(x^{2}+1\right)^{3/2}+\left(x^{2}+1\right)^{1/2}+C$

   Derivar esto numéricamente en $x=1.3$ da $2.263813$, y el integrando ahí vale $2.263813$ ✓.