Halla la integral indefinida de sin^(2n)(x) para un entero positivo n. Da una fórmula de reducción, una forma cerrada explícita y los casos n = 1, 2, 3.

Step-by-step solution

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   Por qué una fórmula de reducción y no una sustitución. Para una potencia impar del seno se separa un factor y se sustituye $u=\cos x$. Ese truco falla con una potencia par $2n$, porque no sobra ningún seno suelto. La vía estándar es entonces la integración por partes, que baja el exponente de dos en dos y produce una recursión.

2. 2

   Enuncia la fórmula de reducción. Escribiendo $\sin^{m}x=\sin^{m-1}x\cdot\sin x$ e integrando por partes se obtiene el resultado clásico

   $\int\sin^{m}x\,dx=-\frac{\sin^{m-1}x\cos x}{m}+\frac{m-1}{m}\int\sin^{m-2}x\,dx.$

   Con $m=2n$ e $I_{n}=\int\sin^{2n}x\,dx$ esto queda

   $I_{n}=-\frac{\sin^{2n-1}x\,\cos x}{2n}+\frac{2n-1}{2n}\,I_{n-1},\qquad I_{0}=\int 1\,dx=x.$

   Cada aplicación baja la potencia en $2$, así que tras $n$ pasos se llega a $I_{0}=x$; por eso una potencia par siempre deja un término $x$ suelto en la respuesta.

3. 3

   Obtén una forma cerrada explícita con la identidad de reducción de potencias. Al desarrollar $\sin^{2n}x$ en cosenos de ángulos múltiples,

   $\sin^{2n}x=\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\cos\bigl(2(n-k)x\bigr),$

   cada término se integra de inmediato. El término constante $\binom{2n}{n}/2^{2n}$ es el valor medio de $\sin^{2n}$ a lo largo de un periodo, y es el que se convierte en el término $x$.

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   Integra término a término. Usando $\int\cos(\lambda x)\,dx=\frac{\sin(\lambda x)}{\lambda}$ con $\lambda=2(n-k)$:

   $\int\sin^{2n}x\,dx=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\,x+\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\frac{\sin\bigl(2(n-k)x\bigr)}{n-k}+C.$

   El factor extra $\tfrac12$ que sale de $\tfrac{1}{2(n-k)}$ es el que convierte $2^{2n-1}$ en $2^{2n}$ en el denominador.

5. 5

   Desarrolla los tres primeros casos. Aplicando cualquiera de las dos fórmulas para $n=1,2,3$:

   $\int\sin^{2}x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,$

   $\int\sin^{4}x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C,$

   $\int\sin^{6}x\,dx=\frac{5x}{16}-\frac{15\sin 2x}{64}+\frac{3\sin 4x}{64}-\frac{\sin 6x}{192}+C.$

   Los coeficientes principales $\tfrac12,\tfrac38,\tfrac{5}{16}$ son exactamente $\binom{2n}{n}/2^{2n}$, y siguen el patrón de Wallis.

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   Comprueba numéricamente. Evaluando la forma cerrada en $[0,1.3]$ frente a la cuadratura de Simpson: $n=1$ da $0.5211246570$ por ambos caminos, $n=2$ da $0.3310166991$ y $n=3$ da $0.2388166824$. Los tres coinciden en diez dígitos ✓.