Calcula el límite de (x² − 16)/(x + 4) cuando x tiende a −4.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituir para clasificar el límite. En $x=-4$,

   $\frac{(-4)^2-16}{-4+4}=\frac{0}{0}$

   El numerador se anula en el mismo punto que el denominador, así que $(x+4)$ divide a los dos y la discontinuidad es evitable, no una verdadera explosión al infinito.

2. 2

   Factorizar el numerador como diferencia de cuadrados. Como $16=4^2$,

   $x^2-16=(x-4)(x+4)$

   Es el patrón $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ con $A=x$ y $B=4$.

3. 3

   Cancelar $(x+4)$. Para todo $x\ne -4$,

   $\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4$

   La función original y la recta $y=x-4$ coinciden en todas partes salvo en el único punto $x=-4$, donde la original no está definida, y un límite ignora justamente ese punto.

4. 4

   Evaluar la función lineal simplificada.

   $\lim_{x\to -4}(x-4)=-4-4=-8$

5. 5

   Deducir cómo es la gráfica. La gráfica de la expresión original es la recta $y=x-4$ con un agujero en $(-4,-8)$. El límite $-8$ es exactamente la altura de ese agujero, y por eso la respuesta es finita aunque la función no tenga ningún valor ahí.