Sea f(x, y) dos veces continuamente diferenciable en el disco unitario D = {x² + y² ≤ 1} con f_xx + f_yy = x² + y². Calcula la integral doble sobre D de (x/√(x²+y²))·f_x + (y/√(x²+y²))·f_y.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el integrando como una derivada radial. En coordenadas polares $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, de modo que $\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\theta$ y $\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\theta$. Por lo tanto

   $\cos\theta\,f_x+\sin\theta\,f_y=\frac{\partial f}{\partial r}$

   y el problema se convierte en $I=\displaystyle\iint_{D}\frac{\partial f}{\partial r}\,dA$. Observa que $f$ nunca se da explícitamente — así que la respuesta debe quedar forzada solo por la condición sobre el laplaciano.

2. 2

   Introduce el promedio angular. Define

   $g(r)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(r,\theta)\,d\theta$

   En forma polar el laplaciano es $\nabla^{2}f=\tfrac1r\big(rf_r\big)_r+\tfrac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta}$. Promediar en $\theta$ elimina el término $f_{\theta\theta}$ (su integral sobre un periodo completo es cero) y deja

   $\frac1r\big(rg'(r)\big)'=r^{2}$

   porque el lado derecho $x^2+y^2=r^2$ no depende de $\theta$.

3. 3

   Resuelve la ecuación diferencial resultante. Multiplicando por $r$ e integrando,

   $\big(rg'\big)'=r^{3}\quad\Longrightarrow\quad rg'=\frac{r^{4}}{4}+C$

   La suavidad de $f$ en el origen obliga a que $rg'\to 0$ cuando $r\to 0$, de donde $C=0$ y

   $g'(r)=\frac{r^{3}}{4}$

   Este es el punto clave: la parte armónica arbitraria de $f$ tiene un promedio angular constante (propiedad del valor medio), así que no aporta nada a $g'$.

4. 4

   Convierte la integral en g'. Con $dA=r\,dr\,d\theta$,

   $I=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial f}{\partial r}\,r\,d\theta\,dr=\int_{0}^{1}r\left(\int_{0}^{2\pi}f_r\,d\theta\right)dr=\int_{0}^{1}r\cdot 2\pi g'(r)\,dr$

5. 5

   Evalúa.

   $I=2\pi\int_{0}^{1}r\cdot\frac{r^{3}}{4}\,dr=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}r^{4}\,dr=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{10}$

   $\boxed{\dfrac{\pi}{10}}$

6. 6

   Comprueba con una solución explícita. Toma $f=\tfrac{r^{4}}{16}=\tfrac{(x^2+y^2)^2}{16}$. Entonces $\nabla^{2}f=\tfrac1r\left(r\cdot\tfrac{4r^{3}}{16}\right)'=\tfrac1r\left(\tfrac{r^{4}}{4}\right)'=r^{2}$ ✓, y $f_r=\tfrac{r^{3}}{4}$, así que

   $I=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\frac{r^{3}}{4}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac{1}{20}=\frac{\pi}{10}$

   lo que coincide con el argumento general. Sumar cualquier función armónica a esta $f$ deja intactas tanto la hipótesis como la respuesta.