Halla el área S limitada por las curvas y² − 2y + x² = 0, y² − 4y + x² = 0, x = 0 e y = x√3.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer las dos curvas como circunferencias. Completando el cuadrado, $x^2+y^2-2y=0$ se convierte en $x^2+(y-1)^2=1$: una circunferencia de radio $1$ centrada en $(0,1)$. Del mismo modo, $x^2+y^2-4y=0$ se convierte en $x^2+(y-2)^2=4$: radio $2$, centro $(0,2)$. Las dos pasan por el origen y son tangentes ahí al eje $x$.

2. 2

   Pasar a coordenadas polares. Con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ se obtiene $r^2-2r\sin\theta=0\Rightarrow r=2\sin\theta$, y $r^2-4r\sin\theta=0\Rightarrow r=4\sin\theta$. Las circunferencias que pasan por el origen tienen exactamente esta forma polar tan limpia, y por eso las polares son aquí el sistema de coordenadas adecuado.

3. 3

   Convertir las dos rectas en ángulos. $x=0$ es la semirrecta $\theta=\tfrac{\pi}{2}$. La recta $y=x\sqrt3$ cumple $\tan\theta=\sqrt3$, luego $\theta=\tfrac{\pi}{3}$. Por lo tanto la región es el sector anular $\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$, $2\sin\theta\le r\le 4\sin\theta$.

4. 4

   Plantear la integral de área en polares. $S=\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2}\!\!\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} r\,dr\,d\theta=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{(4\sin\theta)^2-(2\sin\theta)^2}{2}\,d\theta=6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$.

5. 5

   Usar la identidad de reducción de potencia. $\sin^2\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}$, de modo que $\displaystyle\int\sin^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}$.

6. 6

   Evaluar en los límites. En $\theta=\tfrac{\pi}{2}$: $\tfrac{\pi}{4}-0=\tfrac{\pi}{4}$. En $\theta=\tfrac{\pi}{3}$: $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sin(2\pi/3)}{4}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$. La diferencia es $\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{8}$, y al multiplicar por $6$ queda $S=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}$.

7. 7

   Comprobar numéricamente. $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}=1.570796+1.299038=2.869834$, y una evaluación por el método de Simpson de $6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$ devuelve $2.869834$, coincidiendo hasta la sexta cifra decimal.