Un automóvil tiene aceleración a(t) = t² − 2t + 3 metros por segundo al cuadrado en el instante t. Si su velocidad en t = 1 es 8 metros por segundo, halla su velocidad en t = 3.

Step-by-step solution

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   Usa la relación entre aceleración y velocidad. La aceleración es la derivada de la velocidad, $a(t)=v'(t)$, así que por el teorema fundamental del cálculo la variación de velocidad en un intervalo es la integral definida de $a$:

   $v(3)-v(1)=\int_1^3 a(t)\,dt$

   Trabajar con la variación (en lugar de hallar $v$ con una constante desconocida) hace que la condición inicial se use limpiamente al final.

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   Halla la primitiva del polinomio término a término.

   $\int\left(t^2-2t+3\right)dt=\frac{t^3}{3}-t^2+3t$

   No hace falta constante porque esta primitiva se va a evaluar entre límites.

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   Evalúa en el límite superior $t=3$.

   $\frac{27}{3}-9+9=9$

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   Evalúa en el límite inferior $t=1$.

   $\frac{1}{3}-1+3=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

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   Resta para obtener la variación de velocidad.

   $\int_1^3 a(t)\,dt=9-\frac{7}{3}=\frac{27-7}{3}=\frac{20}{3}\ \text{m/s}$

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   Suma la velocidad inicial.

   $v(3)=v(1)+\frac{20}{3}=8+\frac{20}{3}=\frac{24+20}{3}=\frac{44}{3}\approx 14.67\ \text{m/s}$

   Una comprobación rápida de plausibilidad: $a(t)$ se mantiene entre $2$ y $6$ en $[1,3]$, así que la ganancia debe quedar entre $4$ y $12$ m/s, y $\tfrac{20}{3}\approx 6.67$ lo cumple.