Hallar la integral indefinida de cos(2x) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Adivinar la forma y luego ajustar la constante. La primitiva de $\cos$ es $\sin$, así que la respuesta debe parecerse a $A\sin2x$. Al derivar esa conjetura: $\dfrac{d}{dx}\left(A\sin2x\right)=2A\cos2x$. Para que coincida con $\cos2x$ hace falta $2A=1$, o sea $A=\tfrac12$. El $\tfrac12$ no es adorno: deshace el $2$ que introduciría la regla de la cadena.

2. 2

   Hacerlo formalmente con una sustitución. Sea $u=2x$, de modo que $du=2\,dx$ y $dx=\tfrac12\,du$:

   $\int\cos2x\,dx=\int\cos u\cdot\frac12\,du=\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C$

3. 3

   Deshacer la sustitución.

   $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x+C$

4. 4

   Enunciar la regla general. Para cualquier constante $a$ distinta de cero,

   $\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

   El factor de adelante es siempre el inverso del coeficiente interior. El mismo patrón da $\int\sin ax\,dx=-\tfrac1a\cos ax+C$.

5. 5

   Señalar el error más frecuente. Escribir $\sin2x+C$ (sin el $\tfrac12$) o $2\sin2x+C$ (con el inverso al revés) son los dos descuidos habituales. Derivar la respuesta es una comprobación de cinco segundos que atrapa los dos.

6. 6

   Verificar derivando. $\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12\sin2x\right)=\tfrac12\cdot2\cos2x=\cos2x$ ✓. Numéricamente, los cocientes de diferencias simétricas de $\tfrac12\sin2x$ en $x=0.3,\ 1.4,\ -0.9$ coinciden con $\cos2x$ hasta cinco decimales ✓.