Calcula la integral desde y = 0 hasta √3/2 de la integral desde x = 1 − √(1 − y al cuadrado) hasta √(1 − y al cuadrado) de x + xy dx dy.

Step-by-step solution

1. 1

   Entiende la región antes de integrar. El límite exterior $x=\sqrt{1-y^2}$ es la mitad derecha de la circunferencia unitaria centrada en el origen; el límite interior $x=1-\sqrt{1-y^2}$ es el arco izquierdo de la circunferencia unitaria centrada en $(1,0)$. Así que la región es la franja horizontal comprendida entre dos arcos de circunferencia, desde $y=0$ hasta $y=\tfrac{\sqrt3}{2}$.

2. 2

   Factoriza el integrando y saca lo que es constante en x. $x+xy = x(1+y)$, y $1+y$ no involucra a $x$: $I = \int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\left(\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x\,dx\right)dy.$

3. 3

   Haz la integral interior con el atajo de la diferencia de cuadrados. Escribiendo $a=\sqrt{1-y^2}$, $\int_{1-a}^{a} x\,dx = \frac{a^2-(1-a)^2}{2} = \frac{2a-1}{2} = a-\frac12 = \sqrt{1-y^2}-\frac12.$ Desarrollar $(1-a)^2$ y cancelar $a^2$ es lo que hace que todo se simplifique tan limpiamente.

4. 4

   Separa la integral simple que queda. $I = \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_1} + \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2} y\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_2} - \underbrace{\frac12\int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\,dy}_{B}.$

5. 5

   Evalúa las tres piezas. $A_1$ usa la primitiva estándar $\tfrac12\left(y\sqrt{1-y^2}+\arcsin y\right)$; con $\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\pi}{3}$ esto da $\tfrac{\sqrt3}{8}+\tfrac{\pi}{6}$. $A_2$ usa $u=1-y^2$: $-\tfrac13(1-y^2)^{3/2}$ evaluada de $0$ a $\tfrac{\sqrt3}{2}$ da $\tfrac13-\tfrac{1}{24}=\tfrac{7}{24}$. Y $B = \tfrac12\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac38\right) = \tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac{3}{16}$.

6. 6

   Agrupa los términos semejantes. Los términos con $\sqrt3$ dan $\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{4} = -\tfrac{\sqrt3}{8}$, y los racionales dan $\tfrac{7}{24}-\tfrac{3}{16} = \tfrac{14-9}{48} = \tfrac{5}{48}$. Por lo tanto $I = \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{5}{48} \approx 0.411259.$

7. 7

   Comprueba por cuadratura. Al integrar numéricamente la función del resultado interior $(1+y)\left(\sqrt{1-y^2}-\tfrac12\right)$ sobre $[0,\tfrac{\sqrt3}{2}]$ se obtiene $0.4112590913$, que concuerda con la forma cerrada hasta la décima cifra decimal.