Deriva y = 5cos(3x²) respecto a x.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la composición. La función es un coseno de algo que no es simplemente $x$, así que hace falta la regla de la cadena. Sepárala en capas: un múltiplo constante $5$, una función exterior $\cos(u)$ y una función interior

   $u=3x^{2}$

   Derivar $\cos(3x^{2})$ como si fuera $\cos x$ — dando solo $-\sin(3x^{2})$ — es justamente el error que la regla de la cadena existe para evitar.

2. 2

   Saca la constante. Un múltiplo constante atraviesa la derivación sin cambios:

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\frac{d}{dx}\left[\cos\!\left(3x^{2}\right)\right]$

3. 3

   Deriva la función exterior sin tocar el interior. Con $\frac{d}{du}\cos u=-\sin u$, la regla de la cadena da

   $\frac{d}{dx}\cos u=-\sin(u)\cdot\frac{du}{dx}$

   El argumento del $\sin$ sigue siendo exactamente $3x^{2}$: el interior nunca se deriva dentro del seno.

4. 4

   Deriva la función interior y multiplica. Por la regla de la potencia, $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(3x^{2}\right)=6x$, así que

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\left[-\sin\!\left(3x^{2}\right)\right]\cdot6x=-30x\sin\!\left(3x^{2}\right)$

   Los tres factores numéricos $5$, $-1$ y $6$ se juntan en el único coeficiente $-30$.

5. 5

   Verifica numéricamente. Una diferencia central $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$ con $h=10^{-6}$ coincide con $-30x\sin(3x^{2})$ en $x=0.4$, $1.1$ y $2.0$ con un error inferior a $10^{-5}$ ✓. También pasa una comprobación estructural: en $x=0$ la derivada vale $0$, lo cual es correcto porque $y=5\cos(3x^{2})$ tiene ahí un máximo.